소수 탐사 비행체 — 설계 사양과 실험 보고서Prime Flight — Design Specification and Experiment Report

이 문서는 "소수 q의 다음 소수는 어디까지 가면 반드시 있는가"라는 질문을 동역학계로 번역한 탐사 프로젝트의 최종 기록이다. 출발점은 확률 모형에서 유도한 크라메르급 추측(간격 < 1.6·ln²q)이었고, 종착점은 다섯 개의 계통을 갖춘 적응형 비행체와 두 단계의 보증 명제다: 경제 모드(점근 임계곱 1.05)는 BHP 정리의 미계산 문턱 x₀ 위에서 성립하고, 무조건 모드(1.978, 양력 ×1.07)는 문턱 없는 명시적 정리에 의해 전산 검증 상한(≈10²⁰) 위 전 구간에서 미계산 상수 의존 없이 성립한다(5절). 모든 주장 옆에는 그것을 뒷받침한 실험이 붙어 있다.This document is the final record of a project that translated the question "how far, at most, can the next prime after q be?" into a dynamical system. It began with a Cramér-class conjecture derived from a probabilistic model (gap < 1.6·ln²q); it ends with an adaptive craft of five subsystems and a two-tier guarantee: the economy mode (asymptotic critical product 1.05) holds above BHP's uncomputed threshold x₀, while the unconditional mode (1.978, lift ×1.07) holds over the entire range above the computational ceiling (≈10²⁰), by a threshold-free explicit theorem, with no dependence on any uncomputed constant (§5). Beside every claim sits the experiment that backs it.

1. 문제 정의1. Problem definition

비행체는 상태 (x, w)를 가진다. x는 현재 좌표, w는 창(고도)이고, 창 [x, x+w] 안의 소수 밀집 신호를 읽어 w를 조정하며 x를 2씩 전진한다. 창 안에 소수가 하나도 없는 순간이 사망이다. 따라서 "비행체가 영원히 산다"는 명제는 "모든 q에 대해 다음 소수가 창 안에 있다"는 간격 상계 명제와 동치이며, 창의 스케일이 곧 이 모델이 측정하는 소수의 다음 범위가 된다.The craft carries state (x, w): x its position, w its window (altitude). It reads prime-density signals inside the window [x, x+w], adjusts w, and advances x by 2. The moment the window contains no prime, it dies. "The craft lives forever" is therefore equivalent to the gap upper-bound statement "for every q the next prime lies within the window" — the window's scale is exactly the next-prime range this model measures.

소수 정리에 의해 x 근처 소수 밀도는 1/ln x, 쌍둥이 소수 쌍 밀도는 하디–리틀우드 상수를 포함해 약 1.32/ln²x다. 쌍둥이를 온도계로 쓰는 순간 창의 평형 스케일은 자동으로 ln²x에 맞춰지며, 이것이 초기 확률 모형에서 1.6·ln²q가 튀어나온 근본 이유다. 이 스케일은 리만 가설이 주는 간격 상계 √q·ln q보다 지수적으로 타이트하고, 그만큼 증명은 리만 가설보다 어렵다. 또한 마이어 정리(1985)는 (ln x)^λ 스케일 구간에서 소수 밀도가 예측치를 상수배로 벗어나는 일이 무한히 자주 일어남을 보증하므로, 어떤 국소 피드백도 사막을 예감할 수 없다. 이 정리가 전체 설계의 제1 제약이다: 생존은 예측이 아니라 바닥과 비상 대응에서 나와야 한다.By the prime number theorem the density near x is 1/ln x; twin-pair density, including the Hardy–Littlewood constant, is about 1.32/ln²x. The moment twins are used as a thermometer, the window's equilibrium scale locks onto ln²x by itself — the root reason 1.6·ln²q fell out of the initial probabilistic model. This scale is exponentially tighter than the Riemann Hypothesis gap bound √q·ln q, and the proof correspondingly harder than RH. Moreover, Maier's theorem (1985) guarantees that on (ln x)^λ-scale intervals the prime density strays from prediction by constant factors infinitely often, so no local feedback can foresee a desert. That theorem is the design's first constraint: survival must come from floors and emergency response, not from prediction.

깊이의 표준 단위는 비율 gap/ln²x다. 인류가 실제 소수에서 관측한 최대값은 0.9206 (간격 1132, p ≈ 1.69×10¹⁵)이다.The standard unit of depth is the ratio gap/ln²x. The largest value ever observed in the real primes is 0.9206 (gap 1132, p ≈ 1.69×10¹⁵).

2. 기체 아키텍처 — 다섯 계통2. Airframe architecture — five subsystems

2.1 순항 피드백2.1 Cruise feedback

창 안의 밀집 신호 개수 T에 따라 w를 조정한다: T=0이면 +2, T=1이면 유지, T≥2이면 −2. 이 규칙 단독(초기 모델)의 실효 평형은 푸아송 계산으로 μ* ≈ 1.14, 실소수 기준 w* ≈ 0.86·ln²x다. 평형이 관측 최대 사막 0.921보다 낮고, 더 치명적으로는 쌍둥이 밀집 지대에서 창이 최솟값까지 붕괴한 직후 평범한 간격에 추락하는 붕괴 사망이 지배적이다. 실소수 10³→1.19×10⁹ 전 구간에서 209,527회 사망했다. 수축 속도(−2/스텝)가 순항 속도와 같아 회복이 지형을 못 따라잡는 구조적 결함이며, 이후의 모든 계통은 이 결함을 다른 각도에서 보완한다.Adjust w by the count T of density signals in the window: T=0 → +2, T=1 → hold, T≥2 → −2. Alone (the initial model), its effective equilibrium is μ* ≈ 1.14 by a Poisson computation, w* ≈ 0.86·ln²x on real primes. The equilibrium sits below the deepest observed desert 0.921; worse, collapse deaths dominate — in twin-dense zones the window shrinks to its minimum and then falls into an ordinary gap. It died 209,527 times across the full real-prime range 10³→1.19×10⁹. Contraction speed (−2/step) equals cruise speed, so recovery can never catch the terrain — a structural flaw that every later subsystem patches from a different angle.

2.2 성단 센서2.2 Cluster sensor

쌍둥이·삼중·사중 소수 성단을 밀집 신호 1개로 통합한다. 구현은 억제 규칙 하나로 끝난다: 쌍 (p, p+2)는 창 안에 쌍 (p−6, p−4)가 존재하면 세지 않는다. 간격 2·2 연쇄는 3의 배수 제약으로 불가능하므로 p−6만 검사하면 사슬 전체가 첫 쌍 하나로 접힌다. 단독 효과는 사망 −11% (209,527 → 186,948)에 그쳤는데, T≥2의 주범이 희귀한 성단(밀도 ~ln⁻⁴x)이 아니라 서로 떨어진 쌍 2개의 동시 진입(확률 ~(w/ln²x)²)이기 때문이다. 그러나 이 센서는 어드버서리 실험에서 결정적 방어 가치를 보였다: 간격 2 소수 사슬은 쌍둥이 쌍을 대량 생산해 창 붕괴를 유도하는 공격인데, 사슬 억제가 이를 신호 1개로 무력화한다.Twin, triplet and quadruplet clusters merge into a single density signal. The implementation is one suppression rule: a pair (p, p+2) is not counted if the pair (p−6, p−4) lies in the window. A gap-2·2 chain is impossible modulo 3, so checking p−6 alone folds an entire chain into its first pair. On its own it cut deaths only −11% (209,527 → 186,948) — the main source of T≥2 is not rare clusters (density ~ln⁻⁴x) but two separated pairs entering together (probability ~(w/ln²x)²). But the sensor proved decisive in the adversarial experiments: a gap-2 prime chain is an attack that mass-produces twin pairs to force window collapse, and chain suppression neutralizes it into a single signal.

2.3 자기유사 눈과 회귀 바닥2.3 The self-similar eye and the regression floor

비행체는 거듭제곱 m^k를 만나면 밑 m을 읽는다. ln(m^k) = k·ln m이므로 밑에서의 자기 고도 기억으로 예상고도 E = k²·w(m)을 계산할 수 있다 — 로그 계산 장치 없이 자기유사성만으로 ln²x 스케일을 부트스트랩하는 항법이다. 핵심 교훈 두 가지가 실험에서 나왔다.When the craft meets a power m^k it reads the base m. Since ln(m^k) = k·ln m, its remembered altitude at the base yields an expected altitude E = k²·w(m) — navigation that bootstraps the ln²x scale from self-similarity alone, with no logarithm unit aboard. Two key lessons came out of experiment.

첫째, 측정을 일회성 넛지(평균으로 당기기)로 쓰면 ±2 피드백이 이완 시간 안에 보정을 지워 효과가 0.1%에 그친다. 측정값은 다음 거듭제곱까지 유지되는 바닥(sample-and-hold)으로 기록해야 하며, 연속 제곱수 사이 ln²x의 변화량이 ~4·ln x/√x로 무시 가능하므로 측정값은 다음 측정까지 낡지 않는다. 이 형태(바닥 = E 고정 상속)만으로 실소수 전 구간과 기록 사막 7곳에서 사망 0을 달성했다.First, used as a one-shot nudge (pulling toward the mean), the ±2 feedback erases the correction within its relaxation time; the effect was 0.1%. The measurement must be recorded as a floor that persists until the next power (sample-and-hold); since ln²x changes by only ~4·ln x/√x between consecutive squares, a measurement never goes stale before the next one. This form alone — floor = E, inherited as-is — achieved zero deaths across the full real-prime range and the seven record deserts.

둘째, 고정 상속은 기록 시점의 초과분 ε을 100% 물려받아 바닥이 세대마다 ε씩 자가 팽창한다(관측 평균 1.302·ln²). 처방은 회귀 갱신 — 바닥 ← (E + 현재 고도)/2. 밑수 값이 한 세대 전의 낮은 바닥이라 하향 견인이 생기고 표류가 δ = ε/3으로 줄며, ε 자체가 바닥 상승에 따라 e^(−1.32f)로 급감하므로 잔여 표류는 ln ln ln x 스케일 — 사실상 수렴이다. 실소수 실측에서 바닥이 1.298 (10⁵) → 1.061 (10⁸)로 스스로 하강한 뒤 [약 1.03, 1.36] 대역에서 진동함이 확인됐다. 부작용으로 평균 고도는 소폭 상승하는데(바닥이 낮아진 만큼 요동의 여지가 커짐), 안전 마진의 총량이 바닥에서 요동으로 재배치된 것이다. 랜덤 우주 쌍대 비교에서 회귀 바닥은 고정 상속보다 사막 조우 시 최소 마진을 약 3.5배 개선했다(고정 상속은 단일 측정의 잡음을 그대로 바닥에 반영해 한 차례 0.998까지 추락). 평균으로의 회귀는 나쁜 측정의 잡음을 죽이는 저역 필터로 기능한다. [이 평균형 갱신식과 대역은 v4에서 탈편향 혁신형(γ = 1/8, 대역 [0.77, 1.34])으로 대체된다 — 2.7절.]Second, fixed inheritance passes on 100% of the excess ε present at recording time, so the floor self-inflates by ε per generation (observed mean 1.302·ln²). The prescription is a regression update — floor ← (E + current altitude)/2. The base's value, being one generation older and lower, provides downward pull; drift shrinks to δ = ε/3, and since ε itself decays like e^(−1.32f) as the floor rises, the residual drift is on the ln ln ln x scale — convergence for all practical purposes. On real primes the floor descended by itself from 1.298 (10⁵) to 1.061 (10⁸), then oscillated in the band [≈1.03, 1.36]. As a side effect mean altitude rises slightly (a lower floor leaves more room to fluctuate): the total safety margin is redistributed from floor to fluctuation. In paired random-universe comparison the regression floor beat fixed inheritance by ≈3.5× on minimum margin at desert encounters (fixed inheritance once crashed the floor to 0.998 by copying a single noisy measurement). Regression to the mean acts as a low-pass filter that kills the noise of bad measurements. [This averaging update and its band are replaced in v4 by the debiased innovation form (γ = 1/8, band [0.77, 1.34]) — §2.7.]

2.4 스케일 트리거2.4 The scale trigger

비상 감지 조건은 P ≤ 0.4·ln x다(P는 창 안 소수 개수; 당시 v1–v2 문턱 — 최종값은 0.33β·ln x ≈ 0.287·ln x, 2.6절). 순항 시 P ≈ 1.5·ln x(당시 β = 1.2 구성의 실측 순항 고도)이므로 절대값 트리거(예: P ≤ 2)는 스케일 대비 점점 늦게 울리는 반면, 이 비율 트리거는 유예 시간이 ~0.2·ln²x 스텝으로 스케일과 함께 자란다. 오발률은 푸아송 체르노프 경계로 스텝당 x^(−0.57) — x가 클수록 멱법칙으로 조용해지는 스케일-자유 경보다. 메가사막 실험에서 양력을 +8로 고정한 채 트리거만 절대값에서 비율로 바꿔도 생존 깊이가 3에서 4+로 올라, 트리거가 양력보다 먼저 병목임이 분리 검증됐다.The emergency condition is P ≤ 0.4·ln x (P = primes in the window; the v1–v2 threshold of the time — the final value is 0.33β·ln x ≈ 0.287·ln x, §2.6). Cruise has P ≈ 1.5·ln x (the measured cruise altitude of the then-current β = 1.2 configuration), so an absolute trigger (say P ≤ 2) fires ever later relative to scale, while this ratio trigger's grace grows with scale, ~0.2·ln²x steps. Its false-alarm rate, by a Poisson–Chernoff bound, is x^(−0.57) per step — a scale-free alarm that goes quiet polynomially as x grows. In the mega-desert experiments, holding lift fixed at +8 while switching only the trigger from absolute to ratio raised survivable depth from 3 to 4+, isolating the trigger, not the lift, as the first bottleneck.

2.5 지수 양력과 기하 경보 (v2: 두 상수 모두 유도값으로 교체)2.5 Exponential lift and the geometric alarm (v2: both constants replaced by derived values)

비상 시 양력은 지수형이다. 선형 양력의 커버 용량은 양력률 × 유예시간으로 유한하지만(가산 +0.1·ln²x조차 깊이 ~7이 천장), 지수 양력은 앞전이 지수 가속해 커버 시간이 log(깊이)로 압축된다. 메가사막 매트릭스에서 깊이 10·ln²x를 생존한 유일한 형태다.Emergency lift is exponential. Linear lift's coverage — lift rate × grace time — is finite (even an additive +0.1·ln²x caps out near depth ~7), while the exponential leading edge accelerates so that coverage time compresses to log(depth). It was the only form to survive depth 10·ln²x in the mega-desert matrix.

비율 트리거의 유예는 통계적 가정 — 사막 직전 소수들이 통상 간격으로 깔려 있음 — 에 의존한다. 최악 배치(쌍둥이 고정 접근로 + 간격 2 초밀집 클러스터)에서는 유예가 7스텝으로 붕괴해 지수 양력조차 깊이 4에서 사망했다. 최종 방어는 기하 경보다. v4.5 정식화: 경보는 단순 상태 조건이 아니라 최초 교차 사건이다 — 직전 스텝에 R − x > θw였다가 현재 스텝에 R ≤ x + θw가 되는 순간 비상이 래치되고, 새 소수를 포착해 R > x + θw가 회복될 때까지 해제되지 않는다(포착만으로는 부족하다 — 조건이 여전히 참인 채 래치를 풀면 새로운 거짓→참 교차가 없어 경보가 다시 켜지지 않을 수 있다; 초기 상태가 이미 조건을 만족하면 즉시 래치한다). 유예 하한은 직전 스텝과 증명 바닥의 결합에서 나온다: 직전에 경보가 꺼져 있었다면 R − x_{t−1} > θw_{t−1} ≥ θ·0.87·ln²x_{t−1}이고, 한 스텝 뒤 R − x_t > θ·0.87·ln²(x_t − 2) − 2이므로 유예 ≥ ⌊(θ·0.87·ln²(x_t−2) − 2)/2⌋ 스텝이 소수 배치와 무관하게 보장된다. 이 하한은 현재 고도가 바닥 스냅이나 양력으로 급변해도 영향받지 않는다 — 하한은 직전 상태에서 나오고, 시작 고도는 증명 바닥이 따로 보장한다. 통계가 아니라 기하가 주는 정리급 경보다. (상태 조건만으로는 유예의 상한만 나온다 — 이미 R = x + 2인 상태도 R ≤ x + θw를 만족한다. 보정항 −2는 유예가 수백 스텝인 스케일에서 무시 가능하며, 3.6절의 어드버서리는 이 하한을 정확히 소진했다 — 51스텝.) 이 경보를 단 기체는 동일 최악 배치에서 전 깊이 생존했다.The ratio trigger's grace rests on a statistical assumption — that primes just before the desert are laid out at typical gaps. Under the worst layout (a pinned twin approach lane + an ultra-dense gap-2 cluster), grace collapsed to 7 steps and even exponential lift died at depth 4. The final defense is geometric. v4.5 formalization: the alarm is not a bare state condition but a first-crossing event — the moment R − x > θw at the previous step becomes R ≤ x + θw at the current step, the emergency latches, and it does not release until a new prime is captured that restores R > x + θw (capture alone is not enough — releasing the latch while the condition is still true leaves no fresh false→true crossing, so the alarm might never re-fire; if the initial state already satisfies the condition, latch immediately). The grace lower bound comes from combining the previous step with the proof floor: if the alarm was off at the previous step, R − x_{t−1} > θw_{t−1} ≥ θ·0.87·ln²x_{t−1}, and one step later R − x_t > θ·0.87·ln²(x_t − 2) − 2, so grace ≥ ⌊(θ·0.87·ln²(x_t−2) − 2)/2⌋ steps is guaranteed regardless of prime placement. This bound is immune to sudden jumps in the current altitude (floor snaps, lift) — the bound comes from the previous state, and the launch altitude is guaranteed separately by the proof floor. A theorem-grade alarm given by geometry, not statistics. (The state condition alone yields only an upper bound on grace — a state with R = x + 2 already satisfies R ≤ x + θw. The −2 correction is negligible at the scale of hundreds of grace steps, and the adversary of §3.6 spends this bound exactly — 51 steps.) The craft carrying it survived every depth under the same worst layout.

초기 버전은 양력 ×1.1, 문턱 θ=1/4을 손맛으로 골랐다. v2에서 두 상수 모두 목표 수학에서 유도하고 임계까지 실측했다.The first version chose lift ×1.1 and threshold θ=1/4 by feel. v2 derived both constants from the target mathematics and measured their criticals.

양력률: 유예 θw₀/2 안에 증명된 최대 간격 G = q^0.525를 덮는 조건 w₀·r^(θw₀/2) ≥ G에서 ln r_min = (2/(θw₀))·ln(G/w₀). θ=1/4일 때 이 함수는 q ≈ 10⁹~10¹²에서 정점 1.0746을 찍고 점근적으로 1 + 3.5/ln q → 1로 소멸한다 — 유예(~ln²q)가 커버리지 로그(~0.525·ln q)를 앞지르기 때문이다. BHP 한계급 사막(깊이 q^0.525 ≈ 46.7·ln², x=10⁸, 최악 배치)에 성장률 격자를 통과시킨 결과 사망/생존 경계가 1.070과 1.075 사이에서 실측되어 예측 1.0746을 0.5% 이내로 확인했고, 사망 케이스들이 정확히 유예 스텝 수(51)를 전부 소진하고 추락해 유예 하한이 보수적 추정이 아니라 타이트한 경계이며 어드버서리가 그 경계를 달성하는 최적 공격임이 함께 확인됐다.Lift rate: covering the proven maximal gap G = q^0.525 within grace θw₀/2 requires w₀·r^(θw₀/2) ≥ G, giving ln r_min = (2/(θw₀))·ln(G/w₀). At θ=1/4 this function peaks at 1.0746 near q ≈ 10⁹–10¹², then vanishes asymptotically as 1 + 3.5/ln q → 1 — grace (~ln²q) outruns the coverage logarithm (~0.525·ln q). Running a growth-rate grid through a BHP-limit desert (depth q^0.525 ≈ 46.7·ln², x=10⁸, worst layout) placed the death/survival boundary between 1.070 and 1.075, confirming the prediction 1.0746 within 0.5%; the dying cases crashed after spending exactly the full grace budget (51 steps), confirming at once that the grace bound is tight rather than conservative and that the adversary is the optimal attack achieving it.

경보 문턱: θ를 올리면 유예가 늘어 필요 양력 상수가 c(θ) = 1.05/(θβ)로 줄지만(당시 β = 1.2 기준 0.875/θ), 오경보(창 앞쪽 (1−θ)w 공백) 비율이 스텝당 ~x^(−1.2(1−θ))로 늘어난다. 임계율 스캔은 세 문턱(1/4, 1/2, 3/4)에서 모두 예측(1.0746 / 1.0366 / 1.0243)을 사망·생존 사이에 꽂아 0.875/θ 법칙을 확정했고, 순항 비용 측정은 θ=3/4까지 오경보 2×10⁻⁴, 고도 인플레이션 +0.1%로 사실상 무료이며 θ=7/8에서 이론이 예측한 상시점등 상전이의 초입(오경보 25배 급증, 인플레이션 +1.4%)이 관측됨을 보였다. 안정 조건을 풀면 점근 최적은 θ*(q) = 1 − Θ(ln ln q / ln q)로 1에 접근하며, 양력 상수의 증명 가능한 바닥은 일반형 c_floor = 1.05/(θβ)다(당시 β = 1.2에서 2×0.525/1.2 = 0.875).Alarm threshold: raising θ lengthens grace, so the required lift constant falls as c(θ) = 1.05/(θβ) (0.875/θ at the then-current β = 1.2), while false alarms (an empty front section (1−θ)w) rise as ~x^(−1.2(1−θ)) per step. The critical-rate scan pinned the predictions (1.0746 / 1.0366 / 1.0243) between death and survival at all three thresholds (1/4, 1/2, 3/4), settling the 0.875/θ law; cruise-cost measurement showed θ=3/4 is essentially free (false alarms 2×10⁻⁴, altitude inflation +0.1%), while θ=7/8 exhibits the onset of the theoretically predicted always-on phase transition (false alarms up 25×, inflation +1.4%). Solving the stability condition, the asymptotic optimum approaches 1 as θ*(q) = 1 − Θ(ln ln q / ln q), and the provable floor of the lift constant is the general c_floor = 1.05/(θβ) (2×0.525/1.2 = 0.875 at the then-current β = 1.2).

v2 채택값(당시 바닥 β = 1.2; v3에서 r = 1.045로 재조정 → 2.6절): 문턱 θ = 3/4, 양력 r = 1.03 (균일; 임계 정점 1.025 + 여유). 스케줄형은 일반형 r(q) = 1 + c/ln q, c = 1.05/(θβ) + 여유(v3 기준 1 + 1.7/ln q)가 옳다 — 초판에 적혔던 1 + 0.9/ln q는 필요량의 56%로, v3 바닥에서는 q ≳ 8×10¹¹부터 커버리지가 파탄하는 오류였다(v4.3 정정; 균일값으로 수행된 실험 결과에는 영향 없음 — 요구치 정점이 ln r = 0.0360 < ln 1.045). 초기값 대비 양력률 3.3배 타이트, 순항 비용 증가 +0.1%.v2 adopted values (floor β = 1.2 at the time; retuned to r = 1.045 in v3 → §2.6): threshold θ = 3/4, lift r = 1.03 (uniform; critical peak 1.025 + margin). The correct scheduled form is the general r(q) = 1 + c/ln q with c = 1.05/(θβ) plus margin (1 + 1.7/ln q at the v3 floor) — the 1 + 0.9/ln q printed in earlier editions was 56% of the requirement, and at the v3 floor its coverage breaks from q ≳ 8×10¹¹ (corrected in v4.3; no effect on the experiments, which used the uniform value — the requirement peaks at ln r = 0.0360 < ln 1.045). 3.3× tighter than the initial lift rate, cruise cost +0.1%.

비용은 구조적으로 0이다. 랜덤 우주 10개 쌍대 재비행에서 비상 점화는 우주당 245~461스텝 / 15억 스텝(3×10⁻⁵%)이었고, 평균 고도와 바닥 캐스케이드는 소수점 셋째 자리까지 무변화였다. 비상 채널과 보정 채널의 동시 발생 기대값이 우주당 ~2×10⁻⁴회라, 수렴성 보존이 근사가 아니라 채널 디커플링에 의한 구조적 성질이다.The cost is structurally zero. Across ten paired random-universe reflights, emergency burns totaled 245–461 steps per universe out of 1.5 billion (3×10⁻⁵%); mean altitude and the floor cascade were unchanged to the third decimal. The expected number of coincidences between the emergency and correction channels is ~2×10⁻⁴ per universe, so the preservation of convergence is not an approximation but a structural property of channel decoupling.

2.6 바닥계수의 유도와 점근 임계곱 (v3)2.6 Deriving the floor coefficient; the asymptotic critical product (v3)

바닥계수 β (w₀ = β·ln²q)는 구형 설계에서 사막 limsup 상수(관측 0.921, 크라메르 1 대 그랜빌 1.123 논쟁)를 덮어야 하는 생존 상수였고, 초기값 1.2는 그 손맛이었다. v2에서 사막 생존이 비상 계통으로 이관되면서 β의 지위가 바뀐다. 커버리지 항등식을 β 일반형으로 쓰면 커버리지 = q^(θβc/2)이고, BHP 목표에서In the old design the floor coefficient β (w₀ = β·ln²q) was a survival constant that had to cover the desert limsup (observed 0.921; Cramér's 1 vs Granville's 1.123, still disputed), and the initial 1.2 was hand flavor. Once v2 moved desert survival to the emergency systems, β's status changes. Writing the coverage identity in general-β form, coverage = q^(θβc/2), and at the BHP target

θ · β · c = 2 × 0.525 = 1.05 (점근 임계곱asymptotic critical product)

바닥·경보 문턱·양력 상수의 곱이 목표 수학으로 고정된 점근 임계곱이 된다 — 엄밀한 보존량이라기보다, BHP 지수에 대응하는 점근 임계조건이다. 활주로 θβ·ln²q/2가 세 다이얼이 공유하는 자원이므로, 바닥을 낮추면 유예가 짧아져 버너가 정확히 식만큼 뜨거워져야 한다. 이 결합은 세 바닥(β = 1.2, 0.86, 0.6)에서 예측 임계율(1.0243, 1.0372, 1.0587)이 모두 실측 사망/생존 경계 사이에 위치함으로써 확정됐다. 순항계수 변경이 비상 계통 재조정을 강제하는가라는 질문의 답은 "그렇다, 닫힌 식으로"다. 부차 결합도 둘 있다: 비율 트리거 문턱은 바닥 계수에 비례한 0.33β·ln x ≈ 0.287·ln x로 따라가야 하고(실측 순항 평균 1.107·ln x의 약 0.26에 해당), 경보 정숙성은 β(1−θ)가 충분히 커야 한다.The product of floor, alarm threshold and lift constant becomes an asymptotic critical product fixed by the target mathematics — not a conserved quantity in the strict dynamical sense, but the asymptotic criticality condition corresponding to the BHP exponent. The runway θβ·ln²q/2 is a resource the three dials share: lower the floor and grace shortens, so the burner must heat up by exactly what the formula says. The coupling was settled by three floors (β = 1.2, 0.86, 0.6) whose predicted criticals (1.0243, 1.0372, 1.0587) each landed between the measured death and survival boundaries. Does changing a cruise constant force an emergency retune? The answer is "yes, in closed form." Two secondary couplings: the ratio-trigger threshold must scale with the floor coefficient, 0.33β·ln x ≈ 0.287·ln x (about 0.26 of the measured cruise mean 1.107·ln x), and alarm quietness requires β(1−θ) to stay large enough.

생존이 β에 최솟값을 강제하지 않게 되면서 β는 순수 경제학 다이얼이 된다. 경제학 스윕(크라메르 모형, β = 1.3 → 0.5)에서 평균 고도는 1.594 → 1.016으로 단조 감소했고 전 구간 사망 0이었다 — 오경보 벽이 조잡한 경계 예측보다 한참 왼쪽에 있어 시험 범위 안에서 U-곡선 바닥이 나타나지 않았다(각주: 저β 구간은 궤도이탈 감쇠 상수의 영향이 섞여 있고, 모형에는 쌍둥이 상수 1.32가 없어 실소수와 평형 위치가 다르다). 채택값은 최저점 추격이 아니라 유도된 앵커다:With survival no longer imposing a minimum, β becomes a pure economics dial. In the economics sweep (Cramér model, β = 1.3 → 0.5) mean altitude fell monotonically 1.594 → 1.016 with zero deaths throughout — the false-alarm wall sits far left of the crude boundary estimate, so no U-curve bottom appeared within the tested range (footnote: the low-β regime is mixed with the deorbit decay constant, and the model lacks the twin constant 1.32, so its equilibrium sits elsewhere than in real primes). The adopted value is a derived anchor, not a chase for the minimum:

β* = μ*/(2C₂) ≈ 1.146/1.320 ≈ 0.87

μ*는 순항 피드백의 푸아송 평형 e^(−μ)(2+μ) = 1의 해, 2C₂는 하디–리틀우드 쌍둥이 상수다. 이 값에서 바닥이 피드백의 자연 착지점과 일치해 서로 싸우지도 끌지도 않으며, β = 1.2 대비 순항 고도 ~15% 절약과 함께 "순항하는 기체"의 성격이 유지된다. 더 내리면 고도는 절약되지만 r 요구치와 경보 가동률이 함께 올라 버너 의존 글라이더로 변질된다. 유의할 성격 변화 하나: β* = 0.87은 관측 최심 사막 0.921보다 낮으므로, v3 기체는 알려진 기록 사막조차 순항 바닥이 아니라 비상 계통으로 처리한다 — 비상 커버리지가 증명 기반이기에 허용되는 트레이드다. 점근 임계곱에 따라 양력은 r = 1.045 (θ = 3/4 유지, 임계 1.037 + 여유)로 재조정된다. 구현 명시: 비상 양력은 w ≥ 88.9(=4/0.045)에서 정확히 ×1.045이며, 그 이하에서는 최소 양력 +4가 적용된다(무조건 모드 ×1.07의 경계는 4/0.07 ≈ 57.1). 커버리지 증명은 지수 구간을 기준으로 하며, 최소 양력은 저고도에서 이를 약화시키지 않는 보강항이다.μ* solves the cruise feedback's Poisson equilibrium e^(−μ)(2+μ) = 1; 2C₂ is the Hardy–Littlewood twin constant. At this value the floor coincides with the feedback's natural landing point — they neither fight nor drag each other — and versus β = 1.2 the craft saves ~15% cruise altitude while keeping its "cruising" character. Below it, altitude keeps getting cheaper but the required r and alarm duty rise together, degenerating the craft into a burner-dependent glider. One character change to note: β* = 0.87 sits below the deepest observed desert 0.921, so the v3 craft handles even known record deserts with its emergency systems rather than its cruise floor — a trade made permissible because the emergency coverage is proof-based. Per the asymptotic critical product, lift is retuned to r = 1.045 (θ = 3/4 kept; critical 1.037 + margin). Implementation note: emergency lift is exactly ×1.045 for w ≥ 88.9 (= 4/0.045); below that, a minimum lift of +4 applies (for the unconditional mode's ×1.07 the boundary is 4/0.07 ≈ 57.1). The coverage proof is stated for the exponential regime, and the minimum lift is a strengthening term that never weakens it at low altitude.

이로써 핵심 공기역학 상수 세 개(β, θ, r)가 전부 유도값이 됐고, 유도의 뿌리는 정확히 둘이다 — 쌍둥이 통계(β*)와 BHP 지수(점근 임계곱 1.05). v4.2는 여기에 무조건 모드를 병기한다: 문턱 없는 명시적 결과(Cully-Hugill–Johnston Theorem 1.4의 증명에서 Visser 2025가 추출한 구간형 — 모든 q에서 간격 ≤ 90·q^(89/90))를 목표로 잡으면 점근 임계곱은 2×(89/90) ≈ 1.978, θ = 3/4·β = 0.87 유지 시 c = 3.03, 즉 r = 1.07(스케줄형 1 + 3.03/ln q)이 된다. r은 비상 중에만 작동하므로(가동률 ~3×10⁻⁵%, 3.7절) 두 모드의 순항 비용 차이는 사실상 0이다.With this, all three core aerodynamic constants (β, θ, r) are derived values, from exactly two roots — twin statistics (β*) and the BHP exponent (asymptotic critical product 1.05). v4.2 adds an unconditional mode alongside: targeting the threshold-free explicit result (the interval form extracted by Visser 2025 from the proof of Cully-Hugill–Johnston's Theorem 1.4 — gap ≤ 90·q^(89/90) for every q) gives an asymptotic critical product of 2×(89/90) ≈ 1.978; keeping θ = 3/4 and β = 0.87, c = 3.03, i.e. r = 1.07 (scheduled form 1 + 3.03/ln q). Since r acts only during emergencies (duty ~3×10⁻⁵%, §3.7), the cruise-cost difference between the two modes is effectively zero.

2.7 회귀 이득의 탈편향 혁신형 (v4)2.7 The debiased innovation form of the regression gain (v4)

회귀 바닥의 갱신식 (E + w)/2는 "두 위치의 평균"이라는 형태 자체에 결함이 있다. E = k²·alt[m]은 항등식 ln(m^k) = k·ln m에 의한 정확한 스케일 전파로 바닥 스케일의 비편향 추정인 반면, w는 바닥 + 양의 소풍(excursion)이라 E[w] = floor + ε̄ — 앵커의 측정이 아니라 앵커에 체계적 양의 편향이 얹힌 증인이다. 비편향 항과 편향 항을 등가로 평균하면 매 갱신 ε̄/2가 주입되며, 이것이 관측된 표류의 정체다(구식 분석의 δ = ε/3은 이 평균형에 대한 것이었다).The regression update (E + w)/2 is flawed in its very form — "the average of two positions." E = k²·alt[m] is exact scale propagation through the identity ln(m^k) = k·ln m, an unbiased estimate of floor scale; w is floor plus a positive excursion, E[w] = floor + ε̄ — not a measurement of the anchor but a witness carrying systematic positive bias. Averaging an unbiased term with a biased one as equals injects ε̄/2 per update; that is the identity of the observed drift (the old δ = ε/3 analysis described this averaging form).

처방은 두 축이다. 탈편향: 소풍의 온라인 이동평균 ε̂을 공제한 w − ε̂을 사용. 혁신형 재작성: floor ← E + γ·((w − ε̂) − E) — 기억을 척추로 정확히 전파하고, 탈편향된 국소 관측을 이득 γ로 할인해 보정한다. 실소수 전 구간 스윕(버그 수정 후, 3.10절)에서 w 가중을 줄일수록 표류·대역·연료가 전부 단조 개선됨이 확인됐다: 기존 평균형은 표류 +37%, γ=1/8 혁신형은 +1.8%에 대역 절반, 연료 −18%.The prescription has two axes. Debias: subtract an online moving average ε̂ of the excursion, using w − ε̂. Innovation rewrite: floor ← E + γ·((w − ε̂) − E) — propagate memory exactly along the spine, and let the debiased local observation correct it, discounted by gain γ. The full-range sweep (after the bug fix, §3.10) confirmed that shrinking the w weight improves drift, band and fuel monotonically: the old averaging form drifts +37%; the γ=1/8 innovation form +1.8%, with half the band and −18% fuel.

γ = 0(순수 기억)이 최적이 아닌 이유는 시뮬레이터 버그가 우발적으로 시연했다. 낡은 로그 캐시가 기억 체인의 한 대역에 오염값을 기록했을 때, 순수 기억은 독을 영원히 충실하게 전파한 반면 w 혼합 변형들은 자가 치유했다. γ의 진짜 의미는 추적 정밀도의 대가가 아니라 오염 치유율이다 — 나쁜 기록 하나가 ~1/γ 세대 안에 씻겨 나간다. γ = 0은 단 한 번의 나쁜 쓰기에 영구 취약한 유리 기억이며, 이는 랜덤 우주 마진 실험(혼합이 고정 상속을 최소 마진 3.5배로 이김)과 같은 교훈의 재연이다.Why γ = 0 (pure memory) is not optimal, a simulator bug demonstrated by accident. When a stale log cache wrote contaminated values into one band of the memory chain, pure memory faithfully propagated the poison forever, while the w-blending variants self-healed. γ's true meaning is not the price of tracking precision but a contamination healing rate — one bad record washes out within ~1/γ generations. γ = 0 is glass memory, permanently vulnerable to a single bad write; the same lesson as the random-universe margin experiment (blending beat fixed inheritance 3.5× on minimum margin), replayed.

채택값: floor ← E + (1/8)·((w − ε̂) − E). γ = 1/8은 "치유 8세대"라는 해석 가능한 단위를 가진 다이얼로, 평균이라는 인위적 형태가 제거되고 두 위치의 관계 — 신뢰되는 전파 대 할인되는 편향 증언 — 가 명시화됐다.Adopted: floor ← E + (1/8)·((w − ε̂) − E). γ = 1/8 is a dial with an interpretable unit — "healing in 8 generations" — the artificial averaging form is gone, and the relation between the two positions — trusted propagation versus discounted biased testimony — is made explicit.

v4.4 — 적응 바닥과 증명 바닥의 분리: 위의 혁신형 바닥은 경제 다이얼이며, 실측 대역이 [0.77, 1.34]까지 내려가므로 그 자체로는 5절 보증식의 출발 고도 w₀ = 0.87·ln²q를 보장하지 않는다. 바닥이 0.77인 순간 사막을 만나면 무조건 모드의 커버리지는 4×10¹⁸에서 필요량의 약 2.3%로 붕괴하고, r = 1.07이 상계를 덮으려면 β_min ≈ 0.8487이 필요하다 — 무조건 보증에는 평균(실측 0.886)이 아니라 배치 독립적 불변량이 필요하다. 그래서 v4.4는 증명 바닥을 알고리즘에 직접 강제한다: floor ← max(적응 바닥, β_proof·ln²x), β_proof = 0.87. 적응 바닥은 계속 경제를 담당하고, 증명 바닥은 w ≥ 0.87·ln²x라는 하한을 모든 스텝에서 보장해 보증식의 가정을 실제 불변량으로 만든다. β = 0.87은 쌍둥이 통계로 동기화된 설계값이다 — 증명 바닥으로 강제한 뒤에는 생존 정리가 쌍둥이 소수 추측의 참·거짓에 의존하지 않는다. (3.10절의 대역 [0.77, 1.34]는 증명 바닥 도입 전의 실측 기록이다.)v4.4 — separating the adaptive floor from the proof floor: the innovation-form floor above is an economics dial, and with a measured band reaching down to [0.77, 1.34] it does not by itself guarantee the launch altitude w₀ = 0.87·ln²q assumed by the guarantee formula of §5. Meet a desert while the floor sits at 0.77 and the unconditional mode's coverage collapses to about 2.3% of the requirement at 4×10¹⁸; for r = 1.07 to cover the bound, β_min ≈ 0.8487 is needed — an unconditional guarantee requires a placement-independent invariant, not an average (measured 0.886). v4.4 therefore enforces the proof floor directly in the algorithm: floor ← max(adaptive floor, β_proof·ln²x) with β_proof = 0.87. The adaptive floor keeps handling economics; the proof floor guarantees w ≥ 0.87·ln²x at every step, turning the guarantee formula's assumption into an actual invariant. β = 0.87 is a design value motivated by twin-prime statistics — once enforced as the proof floor, the survival theorem no longer depends on the truth or falsity of the twin-prime conjecture. (The band [0.77, 1.34] of §3.10 is the pre-invariant measured record.)

2.8 궤도이탈 감쇠의 유도 (v4.1)2.8 Deriving the deorbit decay (v4.1)

궤도이탈은 비상 후 재진입 장치다: 사막을 삼킨 뒤 남는 거대 스파이크(초과분 Δ = w − 바닥)를 순항 피드백의 선형 수축(−2/스텝)보다 빠르게 지수 감쇠시킨다. 구속 조건은 측정 위생 하나뿐이다 — 스파이크가 다음 눈 발화 전에 사라져야 기록과 소풍 추정 ε̂이 오염되지 않는다. 눈의 지배 항인 제곱수 간격이 √x 스텝이므로, 발화 간격당 e-폴딩 3회(η = 1/3)를 요구하면Deorbit is the post-emergency re-entry device: it decays the giant spike left after swallowing a desert (excess Δ = w − floor) exponentially, faster than the cruise feedback's linear −2/step contraction. The only constraint is measurement hygiene — the spike must vanish before the next eye firing so that records and the excursion estimate ε̂ stay clean. The eye's dominant term, the square-number spacing, is √x steps, so demanding 3 e-foldings per firing interval (η = 1/3):

τ(x) ≤ √x / 3 ⇔ 64스텝당 감쇠 분율 = min(1, 192/√x)decay fraction per 64 steps = min(1, 192/√x)

하한은 없다: 감쇠는 바닥 아래로 내려갈 수 없고 비상 보증이 w = 바닥에서 유도됐으므로 즉시 스냅해도 생존과 무관하며, 소수 지형은 갤러거 푸아송 통계로 상관 길이가 짧아 이력 보존 가치도 미미하다. 흥미롭게도 구식 손맛 쌍 (64스텝, 1/50)은 x = 10⁸에서 유도식이 주는 값(1/52)과 일치한다 — 주 튜닝 스케일에서 우연히 맞는 값을 골랐던 것이고, 식은 그 고정값이 x < 10⁸에서 위생 조건을 위반함을 예측했다.There is no lower bound: decay cannot go below the floor, the emergency guarantee was derived at w = floor so snapping down instantly cannot affect survival, and prime terrain has a short correlation length by Gallagher's Poisson statistics, so preserving history is barely worth anything. Amusingly, the old hand-tuned pair (64 steps, 1/50) matches the derived value at x = 10⁸ (1/52) — an accidentally correct choice at the main tuning scale; the formula predicted that the fixed value violates the hygiene condition for x < 10⁸.

검증(3.11절)은 유도가 지목한 정확히 그 자리에서, 예측된 만큼만 개선을 보였다: 저x 창 [10⁵, 10⁷]의 바닥 스파이크 폭 ~30% 절삭, x > 10⁸에선 세 법칙(고정·유도·무감쇠)이 소수점 셋째 자리까지 동일. 정직한 축소 보고도 함께다 — v4의 γ = 1/8이 스파이크 오염을 이미 8배 억제해 이 계통의 위생 역할은 거의 잉여가 됐고(무감쇠조차 평균 무변화), 남은 가치는 저x 트림과 미답 스케일 보험이다.Verification (§3.11) showed improvement at exactly the spot the derivation pointed to, and by exactly the predicted amount: ~30% trimming of floor-spike width in the low-x window [10⁵, 10⁷]; for x > 10⁸, all three laws (fixed, derived, none) identical to the third decimal. An honest deflation comes with it — v4's γ = 1/8 already suppresses spike contamination 8-fold, leaving this subsystem's hygiene role mostly redundant (even no-decay left the averages unchanged); the remaining value is the low-x trim and insurance at unexplored scales.

이로써 상수 원장이 마감된다: 커스텀 숫자 0개. 유도값 셋(β, θ, r — 쌍둥이 통계와 BHP 지수), 해석 가능한 다이얼 셋(γ = 1/8 치유율, η = 1/3 위생 여유, 트리거 비율 0.33 = 바닥 β의 1/3(실측 순항 평균의 약 0.26)). 모든 숫자에 단위와 출처가 있다.This closes the constants ledger: zero hand-tuned bare numbers. Three derived values (β, θ, r — from twin statistics and the BHP exponent), three interpretable dials (γ = 1/8 healing rate, η = 1/3 hygiene margin, trigger ratio 0.33 = 1/3 of the floor β, about 0.26 of the measured cruise mean). Every number has a unit and a pedigree.

3. 실험 로그3. Experiment log

모든 실소수 실험은 12×10⁸까지의 에라토스테네스 체와 1.4×10¹⁸급 구간 체를 사용했고, 랜덤 실험은 크라메르 모형(각 n이 확률 1/ln n로 소수인 독립 스트림)을 사용했다. 주의: 이하의 성능 수치는 증명 바닥 도입 전의 실험 기체(v1~v4.1)에서 측정된 것이다. v4.4 이후의 보증 확장(증명 바닥·최초교차 래치)은 이 기록을 대체하지 않는다 — 그 위에 배치 독립 안전 불변량을 얹은 인증 변형이며, 생존 보증은 실험이 아니라 수론 정리와 이산 보조정리에서 나온다.All real-prime experiments used a sieve of Eratosthenes up to 12×10⁸ plus segmented sieves at the 1.4×10¹⁸ scale; random experiments used the Cramér model (independent streams where each n is prime with probability 1/ln n). Note: the performance figures below were measured on the experimental craft (v1–v4.1), before the proof floor was introduced. The certification extensions of v4.4+ (proof floor, first-crossing latch) do not replace these records — they are a certified variant layered on top, adding a placement-independent safety invariant, and the survival guarantee comes from number-theoretic theorems and discrete lemmas, not from the experiments.

3.1 실소수 전 구간 절제 실험 (10³ → 1.19×10⁹, 사망 횟수)3.1 Full-range ablation on real primes (10³ → 1.19×10⁹, death counts)

3.2 기록급 사막 7곳 (실소수, 세그먼트 비행)3.2 Seven record deserts (real primes, segment flights)

검증된 최대 간격 기록에 대한 통과 시험. 깊이는 gap/ln²p.Fly-through tests at verified maximal-gap records. Depth is gap/ln²p.

핵심 발견: 관측 최심 사막(0.921)은 모든 규칙이 통과했고 그보다 얕은 1476(0.845)이 셋을 죽였다. 생사를 결정하는 변수는 사막의 공식 깊이가 아니라 진입 직전 마지막 쌍둥이의 위치(활주로)다 — 마이어형 국소 요동의 실물 관측이다. [v4.5 추가 실험: 두 신규 기록의 세그먼트 비행을 수행해 전승했다. 방법 — 결정적 Miller–Rabin(밑 2~37, n < 3.3×10²⁴에서 결정적) 세그먼트 체(Node.js BigInt, 원 실험의 C 구간 체와 독립된 구현; 재현 스크립트 tools/desert-flight.mjs), 접근 활주로 1.2×10⁵, v4.5 인증 기체(증명 바닥·최초교차 래치; 세그먼트 내 거듭제곱 부재로 눈은 미발화), 경제(1.045)·무조건(1.07) 두 모드. 두 간격 자체도 같은 판정으로 재검증했다 — 끝점 소수, 내부 1675/1853개 전부 합성수. 결과: 1676 @ 2.07×10¹⁹ (깊이 0.847) 생존 — 증명 바닥 1720 > 1676이라 바닥만으로 덮이고 경보는 진입부 13스텝만 점화, 통과 여유 1886칸. 1854 @ 1.01×10²⁰ (깊이 0.874) 생존 — 증명 바닥 1846이 8칸 부족한 관측 최심(0.921)형 구조로, 기하 경보 13스텝이 적자를 메워 여유 1582칸으로 통과. 무조건 모드도 두 곳 모두 생존(경보 8·9스텝).]Key finding: every rule passed the deepest observed desert (0.921), while the shallower 1476 (0.845) killed three. The life-or-death variable is not a desert's official depth but the position of the last twin pair before entry (the runway) — a live sighting of Maier-type local fluctuation. [v4.5 addendum: segment flights at both new records were performed — a clean sweep. Method — deterministic Miller–Rabin (bases 2–37, deterministic for n < 3.3×10²⁴) segment sieve (Node.js BigInt, an implementation independent of the original C segmented sieve; reproduction script tools/desert-flight.mjs), approach runway 1.2×10⁵, the v4.5 certified craft (proof floor, first-crossing latch; no perfect power in the segments, so the eye cannot fire), both modes (economy 1.045 / unconditional 1.07). The gaps themselves were re-verified with the same test — endpoints prime, all 1675/1853 interior numbers composite. Results: 1676 @ 2.07×10¹⁹ (depth 0.847) survived — the proof floor 1720 > 1676 covers it alone, with only 13 alarm steps at entry and 1,886 slots of clearance. 1854 @ 1.01×10²⁰ (depth 0.874) survived — the proof floor 1846 falls 8 slots short, the same structure as the deepest observed desert (0.921): the geometric alarm lit for 13 steps to cover the deficit, clearing by 1,582 slots. The unconditional mode also survived both (8 and 9 alarm steps).]

3.3 랜덤 우주 사냥 (10 시드 × 3×10⁹, 회귀 바닥 기체)3.3 Random-universe hunt (10 seeds × 3×10⁹, regression-floor craft)

사막 조우 66회(깊이 ≥ 0.85), 그중 깊이 ≥ 1.0이 10회. 사망 0. 산점도의 표본 66개에서 깊이와 조우 시 고도 사이에 뚜렷한 단조 관계가 관찰되지 않았다 — 비행체가 사막을 예감한다는 징후는 없다. 최소 마진 사건: 시드 8, 깊이 1.092 사막을 고도 1.158로 조우, 절대 단위로 간격 ≈182 대 창 ≈193 — 11칸 차이 생환. 사망 0/66에서 위험률의 점 추정은 불가능하다 — 독립 시행 가정 아래 3의 법칙이 주는 95% 상한은 3/66 ≈ 4.5%다. 이 잔존 위험(상한)이 비상 계통 설계의 직접적 동기가 됐다.66 desert encounters (depth ≥ 0.85), 10 of them at depth ≥ 1.0. Zero deaths. In the 66-sample scatter, no clear monotone relationship between depth and altitude-at-encounter was observed — no sign that the craft foresees deserts. Minimum-margin event: seed 8, a depth-1.092 desert met at altitude 1.158 — in absolute units, gap ≈182 versus window ≈193, an 11-slot survival. With 0 deaths in 66 encounters, no point estimate of the risk is possible — under an independence assumption, the rule of three gives a 95% upper bound of 3/66 ≈ 4.5%. That residual risk (as an upper bound) became the direct motivation for the emergency systems.

3.4 메가사막 매트릭스 (인공 주입, x = 10⁸)3.4 Mega-desert matrix (artificial injection, x = 10⁸)

3.5 어드버서리 매트릭스 (최악 배치: 쌍둥이 고정 접근로 + 간격 2 클러스터 16개)3.5 Adversarial matrix (worst layout: pinned twin approach lane + 16 gap-2 clusters)

참고: 간격 2 소수 사슬은 3의 배수 제약으로 실제 소수에서 불가능하다. 어드버서리 공간이 실소수 배치의 진초집합이므로 실소수는 증명된 최악보다 순한 상대다.Note: gap-2 prime chains are impossible in the real primes (multiples of 3). The adversarial space is a proper superset of real placements, so the real primes are a gentler opponent than the proven worst case.

3.6 양력률 임계 스캔 (BHP 한계급 사막, 깊이 46.7·ln², 최악 배치, θ=1/4)3.6 Lift-rate critical scan (BHP-limit desert, depth 46.7·ln², worst layout, θ=1/4)

닫힌 식 예측 1.0746이 실측 경계(1.070~1.075)를 0.5% 이내로 적중. 사망 케이스들의 비상 스텝 수가 정확히 유예 하한 w₀/8 = 51과 일치해, 경계의 타이트함과 어드버서리의 최적성이 동시에 확인됐다.The closed-form prediction 1.0746 lands within 0.5% of the measured boundary (1.070–1.075). The dying cases' emergency step counts match the grace lower bound w₀/8 = 51 exactly, confirming at once the tightness of the bound and the optimality of the adversary.

3.7 경보 문턱 스윕3.7 Alarm-threshold sweep

임계율 검증 (동일 사막·배치): θ = 1/4, 1/2, 3/4에서 예측 임계 1.0746, 1.0366, 1.0243이 각각 실측 사망/생존 경계 사이에 위치 — β = 1.2 조건에서 c(θ) = 0.875/θ(일반형 1.05/(θβ)) 법칙 확정.Critical-rate check (same desert and layout): at θ = 1/4, 1/2, 3/4 the predicted criticals 1.0746, 1.0366, 1.0243 each land between the measured death and survival boundaries — the c(θ) = 0.875/θ law (general form 1.05/(θβ)) confirmed at β = 1.2.

순항 오경보 비용 (자연 크라메르 스트림, 10⁸→6×10⁸):Cruise false-alarm cost (natural Cramér stream, 10⁸→6×10⁸):

θ=3/4까지 비용 사실상 0, θ=7/8에서 상시점등 상전이 초입 관측 — 안정 조건이 예측한 위치와 일치.Cost effectively zero through θ=3/4; at θ=7/8 the onset of the always-on phase transition appears — matching the position the stability condition predicted.

3.8 바닥계수 스터디3.8 Floor-coefficient study

점근 임계곱 검증 (BHP 사막 + 최악 배치, θ = 3/4):Critical-product check (BHP desert + worst layout, θ = 3/4):

경제학 스윕 (자연 크라메르, 10⁸→6×10⁸, 각 β에 점근 임계곱이 요구하는 r 장착):Economics sweep (natural Cramér, 10⁸→6×10⁸, each β fitted with the r the asymptotic critical product demands):

시험 범위 내 U-곡선 바닥 미출현 — 생존은 β에 하한을 강제하지 않으며, 채택값 β* = 0.87은 경제 최저점이 아니라 쌍둥이 평형에서 유도된 앵커다.No U-curve bottom within the tested range — survival imposes no lower bound on β; the adopted β* = 0.87 is an anchor derived from twin equilibrium, not an economic minimum.

3.9 v3 통합 회귀 테스트 (실소수, 전 계통 동시 가동)3.9 v3 integrated regression test (real primes, all subsystems active)

성단 센서 + 자기유사 눈/회귀 바닥(β = 0.87 앵커) + 비율 트리거(0.33β·ln x) + 기하 경보(θ = 3/4) + 지수 양력(1.045) + 궤도이탈을 모두 장착한 v3 기체의 실소수 검증.Real-prime verification of the v3 craft carrying everything: cluster sensor + self-similar eye/regression floor (β = 0.87 anchor) + ratio trigger (0.33β·ln x) + geometric alarm (θ = 3/4) + exponential lift (1.045) + deorbit.

전 구간 (10³ → 1.19×10⁹): 사망 0. [v4 교정: 최초 측정치는 시뮬레이터의 로그 캐시 버그(아래 3.10)로 오염되어 있었다. 교정된 수치 —] 기존 평균형 이득 기준 평균 순항 고도 1.346·ln², 자기측정 바닥 평균 1.193 (표류 +37%, 대역 [0.87, 2.98]); v4 탈편향 혁신형(γ=1/8) 기준 평균 고도 1.107·ln² (v1 계열 1.40 대비 −21%), 바닥 평균 0.886 (표류 +1.8%, 대역 [0.77, 1.34]). 캐스케이드가 유도된 앵커 근방에 머무는 것은 이득 법칙의 선택에 달려 있으며, 평균형은 편향 주입으로 위로 표류하고 혁신형은 앵커에 밀착한다. 기하 경보 가동률 ~1.5×10⁻⁴/스텝(교정값). 눈 발화 35,562회.Full range (10³ → 1.19×10⁹): zero deaths. [v4 correction: the original figures were contaminated by the simulator's log-cache bug (§3.10 below). Corrected —] with the old averaging gain, mean cruise altitude 1.346·ln², self-measured floor mean 1.193 (drift +37%, band [0.87, 2.98]); with the v4 debiased innovation gain (γ=1/8), mean altitude 1.107·ln² (−21% versus the v1 line's 1.40), floor mean 0.886 (drift +1.8%, band [0.77, 1.34]). Whether the cascade stays near the derived anchor depends on the choice of gain law: the averaging form drifts upward by bias injection; the innovation form hugs the anchor. Geometric-alarm duty ~1.5×10⁻⁴/step (corrected). 35,562 eye firings.

기록 사막 7곳: 전승 (기하 경보 9~60스텝씩 점화). 헤드라인은 1132 기록(깊이 0.921)이다 — v3의 순항 바닥 0.87은 이 사막보다 낮아 창이 62칸 부족했고, 사막이 창 앞쪽 1/4을 채우는 순간 기하 경보가 27스텝 점화해 지수 양력으로 적자를 메웠다. "바닥은 경제, 생존은 비상 계통"이라는 v3 아키텍처 재편이 시뮬레이션 어드버서리가 아닌 자연이 만든 실제 최심 사막에서 입증된 첫 비상 구조 실적이다.Seven record deserts: a clean sweep (the geometric alarm lit for 9–60 steps each). The headline is the 1132 record (depth 0.921) — v3's cruise floor 0.87 sits below this desert, leaving the window 62 slots short; the moment the desert filled the front quarter of the window, the geometric alarm lit for 27 steps and exponential lift covered the deficit. The first emergency rescue that proves the v3 re-architecture — "the floor for economy, survival for the emergency systems" — against a real deepest desert made by nature, not a simulated adversary.

관찰: 바닥이 앵커에 고정되지 않고 대역 안에서 진동하는 것은 회귀 바닥의 본성이며, 진폭 축소가 필요하면 회귀 이득(현재 1/2)이 다음 조정 후보다. [v4에서 실행 — 3.10절.]Observation: the floor oscillating within a band rather than pinning to the anchor is the nature of a regression floor; if the amplitude must shrink, the regression gain (then 1/2) is the next dial to adjust. [Executed in v4 — §3.10.]

3.10 회귀 이득 스윕과 오염 치유 (실소수 전 구간, v3 계통 동시 가동)3.10 Regression-gain sweep and contamination healing (real primes, full range, v3 systems active)

전 변형 사망 0. w 가중 축소에 따라 표류·대역·연료가 단조 개선 — 평균형이 표류 엔진이었음이 확정됐다.Zero deaths in every variant. Drift, band and fuel improve monotonically as the w weight shrinks — the averaging form is confirmed as the drift engine.

부수 발견 (오염 치유의 라이브 시연): 최초 스윕에서 시뮬레이터의 로그 캐시가 초기 구간에서 갱신되지 않아 기억 체인 alt[10³, 6.6×10⁴]에 오염값이 기록됐고, 이 대역의 제곱들이 [10⁶, 4.4×10⁹] 전역에 독을 전파했다. 이 사고에서 γ=0은 독을 영원히 보존한 반면(바닥 0.44 고착) 혼합 변형들은 자가 치유했다. γ의 해석 — 오염 치유율(치유 시간 ~1/γ 세대) — 이 가설이 아니라 사고 재현으로 입증된 셈이다. 버그 수정(로그 캐시의 상대 간격 갱신) 후 위 표가 확정 수치다.Side discovery (a live demonstration of contamination healing): in the first sweep the simulator's log cache failed to refresh over the early range, writing poisoned values into the memory chain alt[10³, 6.6×10⁴]; squares of this band spread the poison across all of [10⁶, 4.4×10⁹]. In that accident γ=0 preserved the poison forever (floor stuck at 0.44) while the blending variants self-healed. γ's interpretation — contamination healing rate (healing time ~1/γ generations) — was thus proven by accident replay, not by hypothesis. The table above is the settled record after the bug fix (the log cache now refreshes at relative intervals).

3.11 궤도이탈 법칙 스윕 (v4 기체, 실소수 전 구간)3.11 Deorbit-law sweep (v4 craft, real primes, full range)

개선은 유도가 지목한 저x 창에서만(스파이크 폭 ~30% 절삭), x > 10⁸에선 세 법칙 동일 — 고정 상수가 위생 조건을 만족하는 곳에서 차이가 없어야 한다는 예측 그대로. 평균 지표 전반의 무변화는 γ = 1/8이 이 계통의 위생 역할을 이미 대부분 흡수했음을 뜻한다.Improvement only in the low-x window the derivation pointed to (~30% spike-width trim); for x > 10⁸ the three laws are identical — exactly the prediction that where the fixed constant satisfies hygiene, there must be no difference. The flatness of all mean metrics means γ = 1/8 has already absorbed most of this subsystem's hygiene role.

4. 상수 유도 요약4. Summary of constant derivations

순항 평형은 T의 푸아송 분포에서 P(T=0) = P(T≥2) 조건으로 μ* ≈ 1.14, 실소수 w* = μ*/1.32 ≈ 0.86·ln²x. 회귀 바닥의 갱신은 v4에서 탈편향 혁신형 floor ← E + γ·((w − ε̂) − E)로 확정됐다: E는 항등식에 의한 비편향 전파, w는 +ε̄ 편향 증인이므로 산술평균은 매 갱신 ε̄/2를 주입한다(구식 δ = ε/3 표류 분석은 평균형에 대한 것). 탈편향이 표류를 제거하고, γ는 오염 치유율(치유 ~1/γ 세대)로 해석되는 다이얼이며 채택값 1/8. 비율 트리거 오발률은 P(Poisson(β·ln x) ≤ 0.33β·ln x)로 멱법칙 소멸.Cruise equilibrium: from the Poisson distribution of T with the condition P(T=0) = P(T≥2), μ* ≈ 1.14; on real primes w* = μ*/1.32 ≈ 0.86·ln²x. The regression-floor update was settled in v4 as the debiased innovation form floor ← E + γ·((w − ε̂) − E): E propagates unbiased via the identity, w witnesses with +ε̄ bias, so the arithmetic mean injects ε̄/2 per update (the old δ = ε/3 drift analysis described the averaging form). Debiasing removes the drift; γ is the dial read as contamination healing (~1/γ generations), adopted at 1/8. The ratio trigger's false-alarm rate is P(Poisson(β·ln x) ≤ 0.33β·ln x), vanishing polynomially.

비상 계통의 상수들은 다음 닫힌 식에서 나온다. 기하 경보(문턱 θ)의 유예는 배치 무관 τ ≥ ⌊(θβ·ln²q − 2)/2⌋ 스텝(직전 스텝·증명 바닥 보조정리, 2.5절; ln²(q−2) ≈ ln²q)이고, 바닥 w₀ = β·ln²q와 커버리지 조건 w₀·r^τ ≥ G에서The emergency constants come from the following closed forms. The geometric alarm's grace (threshold θ) is placement-independent, τ ≥ ⌊(θβ·ln²q − 2)/2⌋ steps (the previous-step/proof-floor lemma of §2.5; ln²(q−2) ≈ ln²q); with floor w₀ = β·ln²q and the coverage condition w₀·r^τ ≥ G:

ln r_min(β, θ, q) = (2/(θβln²q)) · ln(q^0.525 / (βln²q)), 커버리지coverage = q^(θβc/2)

따라서 BHP 목표에서 점근 임계곱 θβc = 1.05가 성립한다. 이 곱은 목표 수학에 따라 결정되는 게이지이며, v4.2에서 실효성 열을 더해 눈금을 확장한다:Hence the asymptotic critical product θβc = 1.05 holds at the BHP target. The product is a gauge set by the target mathematics; v4.2 extends the dial with an effectivity column:

이 표가 드러내는 구조적 관찰 하나 — BHP 행만 실효성이 없다. 리만 가설 행은 조건부지만 명시적이고, 마지막 행은 무조건이면서 명시적이다. 가장 타이트한 무조건 지수가 하필 실제로 쓸 수 없는 형태라는 것, 그것이 이 게이지가 드러내는 현재 해석적 정수론의 지형이다. BHP의 지수가 개선되면 점근 임계곱이 함께 내려가는 계기판이기도 하다(각주: 지수 0.52의 프리프린트 — Runbo Li, arXiv:2308.04458 — 가 있으나, 사독 전 결과는 설계 상수의 뿌리로 삼지 않는다). 바닥의 앵커는 쌍둥이 통계에서 유도된다: β* = μ*/(2C₂) ≈ 0.87 (μ*는 e^(−μ)(2+μ)=1의 해 1.146, 2C₂ = 1.320). 문턱의 점근 최적은 오경보 안정 조건에서 θ*(q) = 1 − Θ(ln ln q / ln q).One structural observation the table exposes — only the BHP row lacks effectivity. The RH row is conditional but explicit; the last row is unconditional and explicit. That the tightest unconditional exponent is precisely the one that cannot actually be used — that is the terrain of current analytic number theory this gauge reveals. It also remains an instrument panel: when the BHP exponent improves, the asymptotic critical product ticks down with it (footnote: a preprint with exponent 0.52 exists — Runbo Li, arXiv:2308.04458 — but un-refereed results are not used as roots for design constants). The floor's anchor derives from twin statistics: β* = μ*/(2C₂) ≈ 0.87 (μ* solves e^(−μ)(2+μ)=1, giving 1.146; 2C₂ = 1.320). The threshold's asymptotic optimum, from the false-alarm stability condition, is θ*(q) = 1 − Θ(ln ln q / ln q).

v3 채택값 β = 0.87, θ = 3/4, r = 1.045의 보증 엔벨로프는The guarantee envelope of the v3 adopted values β = 0.87, θ = 3/4, r = 1.045 is

W_보증(q)W_guar(q) = 0.87·ln²q × 1.045^(0.326·ln²q) ≈ 0.87·ln²q · e^(0.0143·ln²q)

로, 무조건 증명된 최대 간격 상한 함수 q^0.525 (Baker–Harman–Pintz)를 여유 계수와 함께 전 구간에서 상회한다(각주 1: 최소 여유 계수는 약 1.8배로 q ≈ 4×10⁵ 부근이며, 큰 q에서는 지수 항이 지배해 여유가 급격히 벌어진다. 각주 2: 엔벨로프가 함수 q^0.525를 상회하는 것과 그 함수가 실제 소수 간격의 상계인 것은 다르다 — 후자는 BHP의 미계산 문턱 x₀ 이후에만 성립한다). 무조건 모드(r = 1.07)의 엔벨로프는 둘로 구분한다: 점근형 W ≈ 0.87·ln²q · e^(0.0221·ln²q)는 게이지용이고, 공식 접합 검증은 이산 정확형 W_exact(q) = 0.87·ln²q × 1.07^⌊(0.6525·ln²q − 2)/2⌋로 한다. W_exact는 문턱 없는 상계 90·q^(89/90)를 발효점 q* ≈ 1.5×10¹⁸부터 상회하고 여유 비율은 단조 증가하므로, 전산 검증 상한 ≈10²⁰과 겹친다 — 공식 접합점 10²⁰에서 여유 ≈ 64배(참고: 구판 접합점 4×10¹⁸에서는 2.5배).— which exceeds the unconditionally proven maximal-gap bound function q^0.525 (Baker–Harman–Pintz) with a margin factor over the entire range (footnote 1: the minimum margin factor is about 1.8×, near q ≈ 4×10⁵; at large q the exponential term dominates and the margin widens rapidly. Footnote 2: exceeding the function q^0.525 is distinct from that function bounding actual prime gaps — the latter holds only beyond BHP's uncomputed threshold x₀). The unconditional mode's envelope (r = 1.07) comes in two forms: the asymptotic W ≈ 0.87·ln²q · e^(0.0221·ln²q) serves the gauge, while the official junction is verified with the exact discrete W_exact(q) = 0.87·ln²q × 1.07^⌊(0.6525·ln²q − 2)/2⌋. W_exact exceeds the threshold-free bound 90·q^(89/90) from its activation point q* ≈ 1.5×10¹⁸ onward with a monotonically increasing margin ratio, overlapping the computational-verification ceiling ≈10²⁰ — margin ≈ 64× at the official junction 10²⁰ (for reference: 2.5× at the former junction 4×10¹⁸).

5. 최종 보증 명제5. The final guarantee proposition

측정과 보증을 분리하는 것이 최종 프레임이다. 측정 구간(순항 바닥 대역, v3에서 β* = 0.87)은 다음 소수가 통계적으로 거의 확실히 있는 곳이고(q = 10¹⁸에서 ≈ 1,494), 보증 구간 W_보증(q)는 비행체가 "이 안에 소수가 있으면 반드시 죽지 않고 포착한다"고 인증하는 수색 반경이다(v3 기준 q = 10¹⁸에서 ≈ 7×10¹³). v3에서 순항 바닥은 관측 최심 사막 0.921보다 낮으므로 기록급 사막의 처리는 명시적으로 비상 계통의 몫이며, 그 비상 커버리지가 증명 기반이라는 점이 이 배분을 정당화한다. 보증 구간에는 비상 계통이 반드시 포함되어야 하며, 바로 그 포함이 명제의 지위를 바꾼다:Separating measurement from guarantee is the final frame. The measurement interval (the cruise-floor band; β* = 0.87 in v3) is where the next prime almost surely lies statistically (≈ 1,494 at q = 10¹⁸); the guarantee interval W_guar(q) is the search radius within which the craft certifies "if a prime exists in here, I will capture it without dying" (≈ 7×10¹³ at q = 10¹⁸ for v3). Since the v3 cruise floor sits below the deepest observed desert 0.921, record-class deserts are explicitly the emergency systems' job — a division justified by the fact that the emergency coverage is proof-based. The guarantee interval must include the emergency systems, and precisely that inclusion changes the proposition's status:

경제 모드(점근 임계곱 1.05, r = 1.045): 최대 간격 ≤ q^0.525인 모든 배치에서 생존한다 — 실제 소수열은 q > x₀에서 BHP 정리에 의해 이 조건을 만족하며, x₀는 원리적으로 실효적이나 계산된 바 없다(Visser 2025, arXiv:2508.18786이 문헌으로 확인). 무조건 모드(1.978, r = 1.07): 최대 간격 ≤ 90·q^(89/90)인 모든 배치에서 생존한다 — 이 조건은 문턱 없는 명시적 결과(CHJ Theorem 1.4의 증명에서 Visser가 추출한 구간형, 식 2.5)에 의해 모든 q에서 실제 소수열이 만족하므로, 전산 검증 상한(≈10²⁰) 위 전 구간이 미계산 상수 의존 없이 보증된다. 여기서 q는 경보가 래치된 시점의 현재 좌표 x다 — Visser 구간형이 모든 실수 x ≥ 1에 적용되므로 q가 소수일 필요는 없고, 보증식의 ln²q와 알고리즘의 증명 바닥 ln²x가 같은 변수가 된다.Economy mode (critical product 1.05, r = 1.045): survives every placement with maximal gap ≤ q^0.525 — the real primes satisfy this condition for q > x₀ by the BHP theorem, where x₀ is effective in principle but has never been computed (confirmed in the literature by Visser 2025, arXiv:2508.18786). Unconditional mode (1.978, r = 1.07): survives every placement with maximal gap ≤ 90·q^(89/90) — a condition the real primes satisfy at every q by the threshold-free explicit result (the interval form Visser extracted from the proof of CHJ's Theorem 1.4, eq. 2.5), so the entire range above the computational ceiling (≈10²⁰) is guaranteed with no dependence on any uncomputed constant. Here q is defined as the craft's coordinate x at the moment the alarm latches — Visser's interval form applies to every real x ≥ 1, so q need not be prime, and the guarantee's ln²q and the algorithm's proof floor ln²x become the same variable.

순항 스케일 ln²x만으로 쓴 영생 명제는 크라메르 추측(미증명)과 동치였다. 지수 비상 엔벨로프가 증명된 간격 상한을 삼키면서 명제의 의존처가 추측에서 정리로 이동했고, v4.2에서 그 지형은 세 구간으로 정확히 나뉜다:The immortality claim written at the cruise scale ln²x alone was equivalent to Cramér's conjecture (unproven). Once the exponential emergency envelope swallowed the proven gap bound, the claim's dependency moved from conjecture to theorem — and v4.2 divides the terrain into exactly three ranges:

경제 모드 단독으로는 약 8.5자릿수 폭의 미보증 대역이 남는다. 무조건 모드는 이 대역 전체를 문턱 없는 정리로 덮는다 — 상수 하나(1.045 → 1.07)로 "계산된 적 없는 x₀에 대한 의존"이 제거된다. 무조건 모드의 발효점(이산 정확형 W_exact가 문턱 없는 상계를 넘기 시작하는 지점)은 q* ≈ 1.5×10¹⁸로, 전산 검증 상한 ≈10²⁰보다 훨씬 낮다. 두 보증은 맞닿는 게 아니라 폭넓게 겹친다 — 이음매에 틈이 없다. 정밀화 둘: 첫 구간의 "확정"은 간격 데이터만으로 나오지 않는다 — 최종 기체를 직접 전 구간 비행한 범위는 1.19×10⁹까지이고, 그 위 ≈10²⁰까지는 q ≥ 10³에서 검증된 모든 간격의 깊이가 0.9206 이하라는 데이터(2·3·7의 초기 예외 2.081/1.657/1.056은 유한 검사로 처리)와 증명 바닥·최초교차 경보의 커버리지가 그 깊이를 전 구간 상회한다는 정리의 결합이 덮는다(생존은 간격 크기만이 아니라 진입 배치에 의존하므로, 배치 독립 정리가 필요하다 — 3.2절의 교훈). 그리고 발효점 q* 근방의 여유는 정의상 1배로 얇으므로, 공식 접합점은 여유 ≈ 64배가 확보되는 10²⁰으로 둔다 — q*는 두 보증이 겹친다는 관측이지, 연결의 하중을 받는 지점이 아니다.The economy mode alone leaves an unguaranteed band about 8.5 orders of magnitude wide. The unconditional mode covers that entire band with a threshold-free theorem — one constant (1.045 → 1.07) removes the dependence on the never-computed x₀. The unconditional mode's activation point — where the exact discrete W_exact first clears the threshold-free bound — is q* ≈ 1.5×10¹⁸, far below the computational ceiling ≈10²⁰. The two guarantees do not merely meet; they overlap broadly — there is no gap at the seam. Two refinements: the first range's "settled" does not follow from gap data alone — the final craft was flown end-to-end only up to 1.19×10⁹, and the rest up to ≈10²⁰ is covered by combining the data (every verified gap at q ≥ 10³ has depth ≤ 0.9206; the small-prime exceptions 2·3·7 with 2.081/1.657/1.056 are handled by finite check) with the theorems (the proof floor and first-crossing alarm coverage exceed that depth throughout; survival depends on entry placement, not just gap size — the lesson of §3.2 — so a placement-independent theorem is required). And since the margin near q* is by definition razor-thin (1×), the official junction is placed at 10²⁰, where a margin of ≈64× is secured — q* is an observation that the guarantees overlap, not a load-bearing joint.

무조건 보증의 3층 지지 구조 (v4.6)The three-layer support structure of the unconditional guarantee (v4.6)

무조건 모드의 전제 — "실제 소수열의 최대 간격은 모든 q에서 90·q^(89/90) 이하" — 가 어떤 정리 위에 서 있는지를 층화하면, 보증의 견고성이 정확히 드러난다 (외부 검토 6판 반영):Layering which theorems hold up the unconditional mode's premise — "the real primes' maximal gap is ≤ 90·q^(89/90) at every q" — makes the guarantee's robustness precise (sixth external review):

비행 최대 스케일 10²⁴에서 창 48.7·q는 베르트랑이 요구하는 1.0·q의 48배 여유다 — 이 범위의 무조건 보증은 문턱도 미계산 상수도 없는 1852년 초등 정리 하나로 자동 인증되며, 두사르의 문턱조차 필요 없다. 이는 스펙의 약점이 아니라 문서화할 강점이다. 정직한 경계도 함께 명시한다: 고전 정리(베르트랑·두사르)만으로 인증되는 보증 유효 영역은 q ≤ 10⁸⁹⁹이고 — 비행 영역(10²⁴) 대비 875자릿수 여유라 실질 제약은 아니다 — 그 너머의 전제는 위 인용의 Visser 구간형(식 2.5, 문턱 없음) 단독 의존이 된다. 층이 깊어질수록 최신 결과에 기대는 이 구조가, 전제의 의존처를 투명하게 만든다.At the flight's maximum scale 10²⁴ the window 48.7·q carries a 48× margin over the 1.0·q that Bertrand requires — on this range the unconditional guarantee is certified automatically by a single elementary theorem from 1852, with no threshold, no uncomputed constant, and no need even for Dusart's cutoff. That is a strength worth documenting, not a weakness. The honest boundary is stated alongside: the guarantee's validity region certified by the classical theorems (Bertrand·Dusart) alone is q ≤ 10⁸⁹⁹ — 875 orders of magnitude above the flight range (10²⁴), hence no practical constraint — beyond which the premise rests solely on Visser's interval form (eq. 2.5, threshold-free) cited above. This structure — deeper layers leaning on ever more recent results — makes the premise's dependencies transparent.

세 개의 자 비교 (q = 10¹⁸ 기준)Three rulers compared (at q = 10¹⁸)

순항 예측은 리만 가설의 구간보다 2천만 배 타이트하다 — 단, 전자는 10¹⁸까지의 통계적 측정이고 후자는 (참이라면) 모든 q에 대한 보증서라는 지위 차이가 있다. 한편 보증 엔벨로프는 리만 가설과 BHP의 천장을 둘 다 넘으므로, 설령 크라메르 스케일이 틀린 우주라도 기체는 증명된 수학이 허용하는 어떤 간격(경제 모드 ≤ q^0.525, 무조건 모드 ≤ 90·q^(89/90))도 삼키고 생존한다.The cruise prediction is twenty million times tighter than the Riemann Hypothesis interval — with the status caveat that the former is statistical measurement up to 10¹⁸ and the latter (if true) a warranty for all q. The guarantee envelope, meanwhile, clears both the RH and BHP ceilings, so even in a universe where the Cramér scale is wrong, the craft swallows and survives any gap that proven mathematics permits (≤ q^0.525 in economy mode, ≤ 90·q^(89/90) in unconditional mode).

6. 열린 문제6. Open problems

회귀 바닥의 끌개 대역 하단(v1 평균형 ~1.05, v4 혁신형 실측 0.77 — v4.4부터 증명 바닥 0.87로 하한 강제)은 쌍둥이 통계가, 사망선(관측 0.921, 이론 limsup은 크라메르 1 대 그랜빌 1.123으로 논쟁 중)은 최대 간격 통계가 결정한다. 두 상수는 논리적으로 독립이며, 순항 생존은 이들 사이의 수치적 여유에 기대고 있다. limsup 상수의 실험적 추정(바닥 상수를 깎아가며 최소 생존 바닥 탐색)은 미수행 과제다. 랜덤 우주 위험률 상한 곡선(현행 95% 상한 4.5%)의 정밀화(우주 30개 이상), 지수 양력의 실측 한계(깊이 50~100 주입), 그리고 무한대에서의 최종 판정 — 밀도 0의 예외 집합을 공집합으로 바꾸는 일 — 은 통계가 원리적으로 닿지 못하는, 증명만이 넘을 수 있는 벽으로 남는다. 여기에 v4.2가 두 항목을 추가한다: BHP의 유효 문턱 x₀를 실제로 계산하는 일, 그리고 명시적 지수와 점근 지수 사이의 트레이드오프 곡선 — 지수를 얼마나 양보하면 문턱이 얼마나 내려오는가, θ ↦ x₀(θ) — 의 규명. [v4.3 갱신: 후자는 Visser(2025, arXiv:2508.18786)가 멱수-사이-소수 결과의 조합이라는 우회로로 부분 해결했다 — n ≥ 106이면 문턱 없음; n ≥ 91이면 문턱 (90⁹⁰)^(n/(n−90)), n = 91에서 ≈ 1.76×10¹⁶⁰⁰⁵이고 n→∞ 극한에서야 ≈ 10¹⁷⁶; 4 ≤ n ≤ 90은 본문 식 (2.22)에 따라 x > exp(3·e³³). BHP 논증 자체의 실효화, 곧 Watt 정리와 Harman 체의 상수 정량화는 여전히 미착수다.]The lower edge of the regression floor's attractor band (~1.05 for the v1 averaging form; 0.77 measured for the v4 innovation form — clamped from below at 0.87 by the v4.4 proof floor) is set by twin statistics; the death line (observed 0.921; the theoretical limsup disputed between Cramér's 1 and Granville's 1.123) by maximal-gap statistics. The two constants are logically independent, and cruise survival leans on the numerical daylight between them. An experimental estimate of the limsup constant (shaving the floor constant down in search of the minimal surviving floor) remains an unperformed task. Refining the risk-rate upper-bound curve from random universes (current 95% bound 4.5%; 30+ universes), probing exponential lift's measured limit (injections of depth 50–100), and the final verdict at infinity — turning the density-zero exceptional set into the empty set — remain walls that statistics cannot in principle touch, and only proof can cross. v4.2 adds two more items: actually computing BHP's effective threshold x₀, and mapping the trade-off curve between explicit and asymptotic exponents — how much exponent must be conceded for how much threshold, θ ↦ x₀(θ). [v4.3 update: the latter was partially resolved by Visser (2025, arXiv:2508.18786) via the detour of combining primes-between-powers results — threshold-free for n ≥ 106; for n ≥ 91 the threshold is (90⁹⁰)^(n/(n−90)), ≈ 1.76×10¹⁶⁰⁰⁵ at n = 91 and only ≈ 10¹⁷⁶ in the n→∞ limit; for 4 ≤ n ≤ 90, x > exp(3·e³³) by equation (2.22) of the paper. Making the BHP argument itself effective — quantifying the constants in Watt's theorem and Harman's sieve — remains untouched.]

부록 — 최종 기체 규칙 의사코드Appendix — final craft rules, pseudocode

상태: x (좌표), w (창), floor (바닥), alt[] (밑 고도 기억)
매 스텝:
  P = 창 안 소수 수
  if P == 0: 사망                                   # v4.4: 판정을 창 상태 확정 직후로
  T = 창 안 밀집 신호 수        # 쌍 (p,p+2), 단 창 안에 쌍 (p-6,p-4) 있으면 억제
  R = 창 안 가장 오른쪽 소수    # P > 0 보장 후에만 읽음

  dw = +2 if T==0 else (0 if T==1 else -2)          # 순항
  if 최초교차[R <= x + 3*w/4] or P <= 0.33*0.87*ln(x):  # 기하 경보(래치 — 새 소수 포착으로 R > x+3w/4 회복 시 해제) or 비율 트리거
      dw = max(4, w*(r-1))                          # r = 1.045 (경제) / 1.07 (무조건) — 점근 임계곱이 요구하는 값 + 여유

  x += 2
  proof_floor = 0.87 * ln(x)^2                      # v4.5: 이동 후 좌표 기준 증명 바닥
  w += dw

  if 창이 거듭제곱 m^k를 새로 포착:                  # 자기유사 눈
      E = k^2 * alt[m]   (기억 없으면 beta*ln^2 x)
      floor = max(E + ((w - e_hat) - E)/8, proof_floor)   # v4 혁신형 + 증명 바닥
  if x < 기록범위: alt[x] = floor                    # 바닥을 기록 (고도 아님)

  if 비상 아님 and w > 3*floor (64스텝마다):          # 궤도이탈: 비상 후 재진입
      w -= (w - floor) * min(1, 192/sqrt(x))        # tau = sqrt(x)/3 (측정 위생에서 유도)

  w = max(w, floor, proof_floor)                    # v4.5: 모든 갱신·감쇠 후 최종 강제 — 불변량 w >= 0.87 ln^2 x

  P = 이동한 창의 소수 수
  if P == 0: 사망                                   # 이동 직후 재판정

state: x (position), w (window), floor, alt[] (base-altitude memory)
each step:
  P = primes in window
  if P == 0: death                                  # v4.4: check right after the window state is fixed
  T = density signals in window     # pair (p,p+2), suppressed if pair (p-6,p-4) is in the window
  R = rightmost prime in window     # read only after P > 0 is guaranteed

  dw = +2 if T==0 else (0 if T==1 else -2)          # cruise
  if first-crossing[R <= x + 3*w/4] or P <= 0.33*0.87*ln(x):  # geometric alarm (latched; released when a new capture restores R > x+3w/4) or ratio trigger
      dw = max(4, w*(r-1))                          # r = 1.045 (economy) / 1.07 (unconditional), per the critical product + margin

  x += 2
  proof_floor = 0.87 * ln(x)^2                      # v4.5: proof floor at the post-move coordinate
  w += dw

  if window newly captures a power m^k:             # self-similar eye
      E = k^2 * alt[m]   (beta*ln^2 x if no memory)
      floor = max(E + ((w - e_hat) - E)/8, proof_floor)   # v4 innovation form + proof floor
  if x < recording range: alt[x] = floor            # record the floor (not the altitude)

  if not in emergency and w > 3*floor (every 64 steps):  # deorbit: post-emergency re-entry
      w -= (w - floor) * min(1, 192/sqrt(x))        # tau = sqrt(x)/3 (from measurement hygiene)

  w = max(w, floor, proof_floor)                    # v4.5: final clamp after every update and decay — invariant w >= 0.87 ln^2 x

  P = primes in the moved window
  if P == 0: death                                  # re-check right after moving

v4.5의 재정렬(이동 후 좌표의 증명 바닥, 모든 갱신·감쇠 뒤 최종 강제)은 기존 실험과 무관하다 — 의사코드를 선언된 불변량과 문자 그대로 일치시키는 작업이다.The v4.5 reordering (proof floor at the post-move coordinate; final clamp after every update and decay) does not affect any experiment — it is the work of making the pseudocode literally match the declared invariant.

상수 요약 (v4.1 — 원장 마감): 순항 바닥 β* = 0.87 (쌍둥이 평형 μ*/(2C₂)), 기하 경보 문턱 θ = 3/4, 양력 ×1.045 (점근 임계곱 θβc = 1.05), 비율 트리거 0.33β·ln x (바닥 β의 1/3 — 실측 순항 평균의 약 0.26), 회귀 갱신 = 탈편향 혁신형 γ = 1/8 (치유율), 궤도이탈 τ = √x/3 (위생 여유 η = 1/3). 커스텀 숫자 0개 — 유도값 셋(β, θ, r)과 해석 가능한 다이얼 셋(γ, η, 트리거 비율)뿐이며, 유도의 뿌리는 쌍둥이 통계와 BHP 지수 둘이다. v4.2 무조건 모드 병기: 점근 임계곱 1.978(= 2×89/90, 문턱 없는 명시적 정리), 양력 ×1.07 — 미계산 상수 의존 없음.Constants summary (v4.1 — ledger closed): cruise floor β* = 0.87 (twin equilibrium μ*/(2C₂)), geometric-alarm threshold θ = 3/4, lift ×1.045 (asymptotic critical product θβc = 1.05), ratio trigger 0.33β·ln x (1/3 of the floor β — about 0.26 of the measured cruise mean), regression update = debiased innovation γ = 1/8 (healing rate), deorbit τ = √x/3 (hygiene margin η = 1/3). Zero hand-tuned bare numbers — three derived values (β, θ, r) and three interpretable dials (γ, η, trigger ratio), rooted in exactly two places: twin statistics and the BHP exponent. v4.2 adds the unconditional mode: asymptotic critical product 1.978 (= 2×89/90, threshold-free explicit theorem), lift ×1.07 — no uncomputed constants.

실험 환경: C, 에라토스테네스 체 1.2×10⁹ + 구간 체 ~1.4×10¹⁸, 크라메르 모형 스트림. 총 비행 거리: 실소수 ~1.2×10⁹ × 다수 구성, 랜덤 우주 누적 > 10¹¹. 개정 이력: v1 — 5계통 완성 및 보증 명제. v2 — 비상 계통 두 상수(양력률, 경보 문턱)를 닫힌 식으로 유도하고 BHP 한계급 사막에서 임계 실측으로 확정. v3 — 바닥계수를 쌍둥이 평형에서 유도(β* = 0.87), 점근 임계곱 θβc = 1.05 확립 및 세 바닥에서 임계 검증, 경제학 스윕. v3 검증 — 전 계통 통합 회귀 통과: 실소수 전 구간 및 기록 사막 7곳 무사망, 관측 최심 사막(0.921)을 바닥(0.87) 아래에서 비상 계통이 실구조. v4 — 회귀 갱신을 탈편향 혁신형(γ=1/8)으로 교체(표류 +37% → +1.8%, 연료 −18%), 시뮬레이터 로그 캐시 버그 발견·수정 및 3.9절 수치 교정, 오염 치유율로서의 γ 해석을 사고 재현으로 입증. v4.1 — 궤도이탈을 측정 위생에서 유도(τ = √x/3)하고 저x 창에서 예측대로 검증, 상수 원장 마감(커스텀 숫자 0개). v4.2 — 보증 명제 이원화: 경제 모드(1.05, BHP)와 무조건 모드(1.978, 문턱 없는 명시적 정리, r=1.07) 병기, 실효성 구멍(4×10¹⁸~3×10²⁸)의 정량화와 해소, 최소 여유 계수 각주(≈1.8배, q≈4×10⁵), 열린 문제에 x₀ 계산 추가. v4.3 — 외부 검토 3판 반영: Visser(2025) 인용 및 열린 문제 갱신, v2 스케줄형 양력 정정(1+0.9/ln q → 일반형 1+[1.05/(θβ)]/ln q, 구식은 q≳8×10¹¹ 파탄), 무조건 모드 발효점 q*≈1.35×10¹⁸ 명시(전산 검증과 겹침), 순항 P 서술 통일·트리거 비율 재서술, c_floor 일반화, 최소 양력 경계 57.1 병기, 의사코드 양력 파라미터화. v4.4 — 외부 검토 4판 반영: 증명 바닥 β_proof = 0.87·ln²x를 알고리즘 불변량으로 강제(적응 바닥은 경제 전용 — 바닥 0.77 시 커버리지 2.3% 붕괴 지적 수용), 기하 경보를 최초 교차·래치로 정식화(유예 ≥ (θw−C)/2, C = 2θ+2), 유한 범위 연결을 "전산 간격 + 정리 결합"으로 재서술하고 공식 접합점을 4×10¹⁸로 격상, Visser 가지별 문턱 정정(n=91 ≈ 10¹⁶⁰⁰⁵, 식 2.22는 exp(3e³³)), CHJ 인용을 Visser 추출형으로 정밀화, 의사코드 사망 판정 순서 수정, 위험률을 3의 법칙 95% 상한 4.5%로 재서술. v4.5 — 최종 검토(5판) 반영: 의사코드를 불변량과 문자 그대로 일치하도록 재정렬(이동 후 좌표의 증명 바닥을 모든 갱신·감쇠 뒤 최종 강제), 최초 교차 보조정리를 직전 고도·증명 바닥 형으로 교체(유예 ≥ ⌊(θβln²(x−2)−2)/2⌋, 고도 급변 면역)하고 래치 해제 조건 정정, 접합 검증을 이산 정확형 W_exact로 교체(발효점 q* ≈ 1.5×10¹⁸), q를 경보 시점 좌표로 정의 통일, 0.9206의 q ≥ 10³ 한정(2·3·7 예외) 명시, 실험 기체와 인증 확장 구분, 전산 검증 경계를 Visser v3 기준 ≈10²⁰(85번째 최대 간격 1854 @ 1.01×10²⁰)으로 확장 — 공식 접합점 10²⁰, 여유 ≈ 64배. 이후 신규 기록 사막 2곳(1676·1854)의 세그먼트 비행을 결정적 MR 세그먼트 체로 수행 — 두 모드 전승, 1854는 바닥 8칸 부족을 기하 경보가 구조(3.2절 각주, 재현: tools/desert-flight.mjs). v4.6 — 외부 검토 6판(보증 여유 층화) 반영: 무조건 보증의 3층 지지 구조 문서화(1층 베르트랑 q ≤ 90⁹⁰ ≈ 10¹⁷⁶ — 10²⁴에서 48배 여유, 2층 두사르 q ≤ e²⁰⁶⁹ ≈ 10⁸⁹⁹, 3층은 Visser 식 2.5 단독·BHP 간접), 고전 정리 기준 보증 유효 영역 q ≤ 10⁸⁹⁹ 명시(비행 영역 대비 875자릿수 여유) — 알고리즘·상수 무변경, 순수 문서 개정.Environment: C; sieve of Eratosthenes to 1.2×10⁹ + segmented sieves to ~1.4×10¹⁸; Cramér-model streams. Total flight distance: real primes ~1.2×10⁹ × many configurations; random universes > 10¹¹ cumulative. Revision history: v1 — five subsystems completed; the guarantee proposition. v2 — both emergency constants (lift rate, alarm threshold) derived in closed form and pinned by critical measurements at a BHP-limit desert. v3 — floor coefficient derived from twin equilibrium (β* = 0.87); asymptotic critical product θβc = 1.05 established and verified at three floors; economics sweep. v3 verification — full integrated regression pass: zero deaths across the real-prime range and the seven record deserts; the deepest observed desert (0.921) rescued by the emergency systems below a 0.87 floor. v4 — regression update replaced by the debiased innovation form (γ=1/8; drift +37% → +1.8%, fuel −18%); simulator log-cache bug found and fixed, §3.9 figures corrected; γ's healing-rate interpretation proven by accident replay. v4.1 — deorbit derived from measurement hygiene (τ = √x/3) and verified as predicted in the low-x window; constants ledger closed (zero hand-tuned bare numbers). v4.2 — two-tier guarantee: economy mode (1.05, BHP) and unconditional mode (1.978, threshold-free explicit theorem, r=1.07) side by side; the effectivity hole (4×10¹⁸–3×10²⁸) quantified and closed; minimum-margin footnote (≈1.8× near q≈4×10⁵); x₀ computation added to the open problems. v4.3 — third external review incorporated: Visser (2025) cited and the open problems updated; the v2 scheduled lift corrected (1+0.9/ln q → general 1+[1.05/(θβ)]/ln q; the old form breaks from q≳8×10¹¹); the unconditional mode's activation point q*≈1.35×10¹⁸ stated (overlapping the computational range); cruise-P statements unified and the trigger ratio restated; c_floor generalized; the minimum-lift boundary 57.1 added; the pseudocode lift parametrized. v4.4 — fourth external review incorporated: the proof floor β_proof = 0.87·ln²x enforced as an algorithmic invariant (adaptive floor kept for economics — accepting the 2.3%-coverage-collapse critique at floor 0.77); the geometric alarm formalized as a first-crossing latch (grace ≥ (θw−C)/2, C = 2θ+2); the finite-range connection restated as "verified gaps + theorems" with the official junction raised to 4×10¹⁸; Visser branch thresholds corrected (n=91 ≈ 10¹⁶⁰⁰⁵; eq. 2.22 gives exp(3e³³)); the CHJ citation refined to Visser's extraction; the pseudocode death check reordered; the risk rate restated as a rule-of-three 95% upper bound of 4.5%. v4.5 — fifth (final) review incorporated: the pseudocode reordered to literally match the invariant (proof floor at the post-move coordinate, final clamp after every update and decay); the first-crossing lemma rewritten in previous-altitude/proof-floor form (grace ≥ ⌊(θβln²(x−2)−2)/2⌋, immune to altitude jumps) with the latch-release condition corrected; junction verification switched to the exact discrete W_exact (activation q* ≈ 1.5×10¹⁸); q unified as the coordinate at alarm latch; the 0.9206 depth bound qualified to q ≥ 10³ (2·3·7 exceptions); experimental craft distinguished from the certified extension; the computational boundary extended to ≈10²⁰ per Visser v3 (85th maximal gap 1854 @ 1.01×10²⁰) — official junction 10²⁰, margin ≈ 64×. Segment flights at the two new record deserts (1676, 1854) were then performed with a deterministic-MR segment sieve — a clean sweep in both modes; at 1854 the geometric alarm rescued an 8-slot floor deficit (§3.2 note; reproduction: tools/desert-flight.mjs). v4.6 — sixth external review (margin layering) incorporated: the unconditional guarantee's three-layer support structure documented (layer 1 Bertrand, q ≤ 90⁹⁰ ≈ 10¹⁷⁶ — 48× margin at 10²⁴; layer 2 Dusart, q ≤ e²⁰⁶⁹ ≈ 10⁸⁹⁹; layer 3 carried solely by Visser eq. 2.5, BHP indirect), and the classical-theorem validity region q ≤ 10⁸⁹⁹ stated (875 orders above the flight range) — no algorithm or constant changed; a pure documentation revision.

참고 문헌 · references: Baker–Harman–Pintz, Proc. London Math. Soc. 83 (2001) · Cully-Hugill, J. Number Theory 247 (2023) · Cully-Hugill–Johnston, Funct. Approx. Comment. Math. (2025) · Dudek, Funct. Approx. Comment. Math. 55 (2016) · Carneiro–Milinovich–Soundararajan, Comment. Math. Helv. 94 (2019) · Visser, arXiv:2508.18786v3 (2025, rev. 2026-07).

문서 갱신일: 2026-07-27Last updated: 2026-07-27